3.714 \(\int \frac{\sqrt [3]{\sec (c+d x)}}{a+b \sec (c+d x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=174 \[ \frac{a \sin (c+d x) F_1\left (\frac{1}{2};-\frac{1}{3},1;\frac{3}{2};\sin ^2(c+d x),\frac{a^2 \sin ^2(c+d x)}{a^2-b^2}\right )}{d \left (a^2-b^2\right ) \sqrt [3]{\cos ^2(c+d x)} \sec ^{\frac{2}{3}}(c+d x)}-\frac{b \sin (c+d x) \sqrt [6]{\cos ^2(c+d x)} \sqrt [3]{\sec (c+d x)} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{6},1;\frac{3}{2};\sin ^2(c+d x),\frac{a^2 \sin ^2(c+d x)}{a^2-b^2}\right )}{d \left (a^2-b^2\right )} \]

[Out]

(a*AppellF1[1/2, -1/3, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*
(Cos[c + d*x]^2)^(1/3)*Sec[c + d*x]^(2/3)) - (b*AppellF1[1/2, 1/6, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, (a^2*Sin[c + d*x]^2
)/(a^2 - b^2)]*(Cos[c + d*x]^2)^(1/6)*Sec[c + d*x]^(1/3)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.262347, antiderivative size = 174, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 4, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.174, Rules used = {3869, 2823, 3189, 429} \[ \frac{a \sin (c+d x) F_1\left (\frac{1}{2};-\frac{1}{3},1;\frac{3}{2};\sin ^2(c+d x),\frac{a^2 \sin ^2(c+d x)}{a^2-b^2}\right )}{d \left (a^2-b^2\right ) \sqrt [3]{\cos ^2(c+d x)} \sec ^{\frac{2}{3}}(c+d x)}-\frac{b \sin (c+d x) \sqrt [6]{\cos ^2(c+d x)} \sqrt [3]{\sec (c+d x)} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{6},1;\frac{3}{2};\sin ^2(c+d x),\frac{a^2 \sin ^2(c+d x)}{a^2-b^2}\right )}{d \left (a^2-b^2\right )} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sec[c + d*x]^(1/3)/(a + b*Sec[c + d*x]),x]

[Out]

(a*AppellF1[1/2, -1/3, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*
(Cos[c + d*x]^2)^(1/3)*Sec[c + d*x]^(2/3)) - (b*AppellF1[1/2, 1/6, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, (a^2*Sin[c + d*x]^2
)/(a^2 - b^2)]*(Cos[c + d*x]^2)^(1/6)*Sec[c + d*x]^(1/3)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d)

Rule 3869

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Dist[Sin[
e + f*x]^n*(d*Csc[e + f*x])^n, Int[(b + a*Sin[e + f*x])^m/Sin[e + f*x]^(m + n), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f
, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m]

Rule 2823

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[a, Int[(d*
Sin[e + f*x])^n/(a^2 - b^2*Sin[e + f*x]^2), x], x] - Dist[b/d, Int[(d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(a^2 - b^2*Sin[e +
f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3189

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff
= FreeFactors[Cos[e + f*x], x]}, -Dist[(ff*d^(2*IntPart[(m - 1)/2] + 1)*(d*Sin[e + f*x])^(2*FracPart[(m - 1)/
2]))/(f*(Sin[e + f*x]^2)^FracPart[(m - 1)/2]), Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b - b*ff^2*x^2)^p, x]
, x, Cos[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

Rule 429

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^p*c^q*x*AppellF1[1/n, -p,
-q, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[n
, -1] && (IntegerQ[p] || GtQ[a, 0]) && (IntegerQ[q] || GtQ[c, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\sqrt [3]{\sec (c+d x)}}{a+b \sec (c+d x)} \, dx &=\left (\sqrt [3]{\cos (c+d x)} \sqrt [3]{\sec (c+d x)}\right ) \int \frac{\cos ^{\frac{2}{3}}(c+d x)}{b+a \cos (c+d x)} \, dx\\ &=-\left (\left (a \sqrt [3]{\cos (c+d x)} \sqrt [3]{\sec (c+d x)}\right ) \int \frac{\cos ^{\frac{5}{3}}(c+d x)}{b^2-a^2 \cos ^2(c+d x)} \, dx\right )+\left (b \sqrt [3]{\cos (c+d x)} \sqrt [3]{\sec (c+d x)}\right ) \int \frac{\cos ^{\frac{2}{3}}(c+d x)}{b^2-a^2 \cos ^2(c+d x)} \, dx\\ &=-\frac{a \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt [3]{1-x^2}}{-a^2+b^2+a^2 x^2} \, dx,x,\sin (c+d x)\right )}{d \sqrt [3]{\cos ^2(c+d x)} \sec ^{\frac{2}{3}}(c+d x)}+\frac{\left (b \sqrt [6]{\cos ^2(c+d x)} \sqrt [3]{\sec (c+d x)}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt [6]{1-x^2} \left (-a^2+b^2+a^2 x^2\right )} \, dx,x,\sin (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac{a F_1\left (\frac{1}{2};-\frac{1}{3},1;\frac{3}{2};\sin ^2(c+d x),\frac{a^2 \sin ^2(c+d x)}{a^2-b^2}\right ) \sin (c+d x)}{\left (a^2-b^2\right ) d \sqrt [3]{\cos ^2(c+d x)} \sec ^{\frac{2}{3}}(c+d x)}-\frac{b F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{6},1;\frac{3}{2};\sin ^2(c+d x),\frac{a^2 \sin ^2(c+d x)}{a^2-b^2}\right ) \sqrt [6]{\cos ^2(c+d x)} \sqrt [3]{\sec (c+d x)} \sin (c+d x)}{\left (a^2-b^2\right ) d}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 21.3342, size = 4544, normalized size = 26.11 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Sec[c + d*x]^(1/3)/(a + b*Sec[c + d*x]),x]

[Out]

(9*(a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^(4/3)*Sin[c + d*x]*((b*AppellF1[1/2, 1/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*
x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])/(9*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2, 1/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c
+ d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + 2*(3*b^2*AppellF1[3/2, 1/3, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2
)] + (-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 4/3, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^
2) + (a*AppellF1[1/2, 5/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])/(-9*(a^2 - b^2)*AppellF
1[1/2, 5/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (-6*b^2*AppellF1[3/2, 5/6, 2, 5/2, -T
an[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + 5*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, 11/6, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2,
(b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2)))/(d*(Sec[c + d*x]^2)^(5/6)*(a + b*Sec[c + d*x])*(-a^2 + b^
2*Sec[c + d*x]^2)*((9*(a^2 - b^2)*(Sec[c + d*x]^2)^(1/6)*((b*AppellF1[1/2, 1/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*
Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])/(9*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2, 1/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2,
(b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + 2*(3*b^2*AppellF1[3/2, 1/3, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/
(a^2 - b^2)] + (-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 4/3, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan
[c + d*x]^2) + (a*AppellF1[1/2, 5/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])/(-9*(a^2 - b^
2)*AppellF1[1/2, 5/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (-6*b^2*AppellF1[3/2, 5/6,
2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + 5*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, 11/6, 1, 5/2, -Tan[c
+ d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2)))/(-a^2 + b^2*Sec[c + d*x]^2) - (18*b^2*(a^2 - b^
2)*(Sec[c + d*x]^2)^(1/6)*Tan[c + d*x]^2*((b*AppellF1[1/2, 1/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/
(a^2 - b^2)]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])/(9*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2, 1/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x
]^2)/(a^2 - b^2)] + 2*(3*b^2*AppellF1[3/2, 1/3, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (
-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 4/3, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2) + (
a*AppellF1[1/2, 5/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])/(-9*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2,
5/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (-6*b^2*AppellF1[3/2, 5/6, 2, 5/2, -Tan[c +
d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + 5*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, 11/6, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*T
an[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2)))/(-a^2 + b^2*Sec[c + d*x]^2)^2 - (15*(a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^2*
((b*AppellF1[1/2, 1/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])/(9*(a^
2 - b^2)*AppellF1[1/2, 1/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + 2*(3*b^2*AppellF1[3/2
, 1/3, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 4/3, 1, 5/2, -T
an[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2) + (a*AppellF1[1/2, 5/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x
]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])/(-9*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2, 5/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c
+ d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (-6*b^2*AppellF1[3/2, 5/6, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)
] + 5*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, 11/6, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]
^2)))/((Sec[c + d*x]^2)^(5/6)*(-a^2 + b^2*Sec[c + d*x]^2)) + (9*(a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]*((b*AppellF1[1/2, 1/3
, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x])/(9*(a^2 - b^2)
*AppellF1[1/2, 1/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + 2*(3*b^2*AppellF1[3/2, 1/3, 2
, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 4/3, 1, 5/2, -Tan[c + d
*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2) + (b*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]*((2*b^2*AppellF1[3/2, 1/3,
2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)) - (2*
AppellF1[3/2, 4/3, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/9))
/(9*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2, 1/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + 2*(3*b^2*Appel
lF1[3/2, 1/3, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 4/3, 1,
5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2) + (a*((2*b^2*AppellF1[3/2, 5/6, 2, 5/
2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)) - (5*Appell
F1[3/2, 11/6, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/9))/(-9*
(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2, 5/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (-6*b^2*AppellF1[3
/2, 5/6, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + 5*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, 11/6, 1, 5/2
, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2) - (b*AppellF1[1/2, 1/3, 1, 3/2, -Tan[c +
d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]*(4*(3*b^2*AppellF1[3/2, 1/3, 2, 5/2, -Tan[c +
d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 4/3, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[
c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x] + 9*(a^2 - b^2)*((2*b^2*AppellF1[3/2, 1/3, 2, 5/2, -Tan[
c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)) - (2*AppellF1[3/2,
4/3, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/9) + 2*Tan[c + d*
x]^2*(3*b^2*((12*b^2*AppellF1[5/2, 1/3, 3, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x
]^2*Tan[c + d*x])/(5*(a^2 - b^2)) - (2*AppellF1[5/2, 4/3, 2, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 -
b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/5) + (-a^2 + b^2)*((6*b^2*AppellF1[5/2, 4/3, 2, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2
*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(5*(a^2 - b^2)) - (8*AppellF1[5/2, 7/3, 1, 7/2, -Ta
n[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/5))))/(9*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2
, 1/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + 2*(3*b^2*AppellF1[3/2, 1/3, 2, 5/2, -Tan[c
+ d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 4/3, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*T
an[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2)^2 - (a*AppellF1[1/2, 5/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d
*x]^2)/(a^2 - b^2)]*(2*(-6*b^2*AppellF1[3/2, 5/6, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] +
5*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, 11/6, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Sec[c + d*x]^2*
Tan[c + d*x] - 9*(a^2 - b^2)*((2*b^2*AppellF1[3/2, 5/6, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b
^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)) - (5*AppellF1[3/2, 11/6, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c
+ d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/9) + Tan[c + d*x]^2*(-6*b^2*((12*b^2*AppellF1[5/2, 5/6, 3
, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(5*(a^2 - b^2)) - Appel
lF1[5/2, 11/6, 2, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x]) + 5*(a^
2 - b^2)*((6*b^2*AppellF1[5/2, 11/6, 2, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2
*Tan[c + d*x])/(5*(a^2 - b^2)) - (11*AppellF1[5/2, 17/6, 1, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 -
b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/5))))/(-9*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2, 5/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[
c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (-6*b^2*AppellF1[3/2, 5/6, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2
)] + 5*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, 11/6, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x
]^2)^2))/((Sec[c + d*x]^2)^(5/6)*(-a^2 + b^2*Sec[c + d*x]^2))))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.102, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\frac{1}{a+b\sec \left ( dx+c \right ) }\sqrt [3]{\sec \left ( dx+c \right ) }}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sec(d*x+c)^(1/3)/(a+b*sec(d*x+c)),x)

[Out]

int(sec(d*x+c)^(1/3)/(a+b*sec(d*x+c)),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\sec \left (d x + c\right )^{\frac{1}{3}}}{b \sec \left (d x + c\right ) + a}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(d*x+c)^(1/3)/(a+b*sec(d*x+c)),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sec(d*x + c)^(1/3)/(b*sec(d*x + c) + a), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(d*x+c)^(1/3)/(a+b*sec(d*x+c)),x, algorithm="fricas")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\sqrt [3]{\sec{\left (c + d x \right )}}}{a + b \sec{\left (c + d x \right )}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(d*x+c)**(1/3)/(a+b*sec(d*x+c)),x)

[Out]

Integral(sec(c + d*x)**(1/3)/(a + b*sec(c + d*x)), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\sec \left (d x + c\right )^{\frac{1}{3}}}{b \sec \left (d x + c\right ) + a}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(d*x+c)^(1/3)/(a+b*sec(d*x+c)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sec(d*x + c)^(1/3)/(b*sec(d*x + c) + a), x)